MECÂNICA GRACELI - ESTATÍSTICA QUÂNTICA TENSORIAL DE CAMPOS [578]

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$\psi ^{*}$

$|\psi _{I}(t)\rangle =e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi _{S}(t)\rangle$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

${\mathcal {L}}=\psi ^{*}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

Vetor do estado quântico

O vetor do estado quântico na Representação de Dirac é definido como[2]

|\psi _{I}(t)\rangle =e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi _{S}(t)\rangle

Onde $|\psi _{S}(t)\rangle$ é o mesmo vetor da Representação de Schrödinger.

A eletrodinâmica quântica é uma teoria abeliana de calibre, dotada de um grupo de calibre U(1).

O campo de calibre que media a interação entre campos de spin 1/2, é o campo eletromagnético, que se apresenta sob a forma de fótons.

A descrição da interação se dá através da lagrangiana para a interação entre elétrons e pósitrons, que é dada por:

{\mathcal {L}}=\psi ^{*}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }

onde $\ \psi$ e sua adjunta de Dirac $\psi ^{*}$ são os campos representando partículas eletricamente carregadas, especificamente, os campos do elétron e pósitron representados como espinores de Dirac.

A equação de Lippmann–Schwinger (em homenagem a Bernard Lippmann e Julian Schwinger^[1]) é uma das equações mais utilizadas para descrever colisões de partículas – ou, mais precisamente, de espalhamento – na mecânica quântica. Pode ser usado para estudar o espalhamento das moléculas, átomos, nêutrons, fótons ou quaisquer outras partículas e é importante principalmente para o estudo de física óptica, atômica e molecular, física nuclear e física de partículas, mas também para os problemas de espalhamento em geofísica. Ela refere-se a função de onda espalhada com a interação que produz o espalhamento (potencial espalhador) e, por conseguinte, permite o cálculo dos parâmetros experimentais relevantes (amplitude de espalhamento e a sessão de choque).

A equação mais fundamental para descrever qualquer fenômeno quântico, incluindo o espalhamento, é a equação de Schrödinger. Em problemas físicos esta equação diferencial deve ser resolvida com a entrada de um conjunto adicional de condições iniciais e/ou condições de contorno para o sistema físico estudado. A equação de Lippmann-Schwinger é equivalente à equação Schrödinger mais as condições de contorno para problemas típicos de espalhamento. A fim de incorporar as condições de contorno, a equação Lippmann-Schwinger deve ser escrita como uma equação integral.^[2] Para problemas de espalhamento, a equação de Lippmann-Schwinger muitas vezes é mais conveniente do que a equação de Schrödinger.

A equação de Lippmann-Schwinger é, de forma geral, (na verdade são duas equações mostrados abaixo, uma para $+\,$ e outra para $-\,$ ):

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$\psi ^{*}$

$|\psi _{I}(t)\rangle =e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi _{S}(t)\rangle$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

${\mathcal {L}}=\psi ^{*}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

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|\psi ^{(\pm )}\rangle =|\phi \rangle +{\frac {1}{E-H_{0}\pm i\epsilon }}V|\psi ^{(\pm )}\rangle .\,

Nas equações acima, $|\psi ^{(+)}\rangle \,$ é a função de onda de todo o sistema (os dois sistemas considerados como um todo colidem) em um tempo infinito antes da interação; e $|\psi ^{(-)}\rangle \,$ , em um tempo infinito após a interação (a "função de onda espalhada"). O potencial de energia $V\,$ descreve a interação entre os dois sistemas em colisão. O Hamiltoniano $H_{0}\,$ descreve a situação em que os dois sistemas estão infinitamente distantes e não interagem. As suas autofunções são $|\phi \rangle \,$ e seus autovalores são as energias $E\,$ . Finalmente, $i\epsilon \,$ é uma questão técnica matemática utilizada para o cálculo das integrais necessárias para resolver a equação e não tem nenhum significado físico.

Uma analogia comumente utilizada para explicar tal fenômeno envolve uma colina e um trenó subindo em direção ao cume da colina. Imaginando que o trenó esteja subindo a colina, parte de sua energia cinética que se transforma em energia potencial gravitacional U. Quando o cume da colina é atingido, podemos pensar que o trenó tem energia potencial Ub. Se a energia mecânica inicial E do trenó for maior que Ub, o trenó poderá chegar do outro lado da colina. Contudo, se E for menor que Ub, a física clássica garante que não existe a possibilidade de o trenó ser encontrado do outro lado da colina. Na mecânica quântica, porém, existe uma probabilidade finita de que esse trenó apareça do outro lado, movendo-se para direita com energia E como se nada tivesse acontecido. Dizemos que a colina se comporta como uma barreira de energia potencial, exemplificando de maneira simplória o efeito Túnel.^[6]

Reflexão e tunelamento através de uma barreira potencial por um pacote de ondas. Uma parte do pacote de ondas passa através da barreira, o que não é possível pela física clássica.

Considerando um elétron e a densidade de probabilidade $\Psi$ da onda de matéria associada a ele, podemos pensar em três regiões: antes da barreira potencial (região I), a região de largura L da barreira (região II) e uma região posterior à barreira (região III). A abordagem da mecânica quântica é baseada na equação de Schrödinger, a qual tem solução para todas as 3 regiões. Nas regiões I e III, a solução é uma equação senoidal, enquanto na segunda - a solução é uma função exponencial. Nenhuma das probabilidades é zero, embora na região III a probabilidade seja bem baixa.^[2]

O coeficiente de transmissão (T) de uma determinada barreira é definido como uma fração dos elétrons que conseguem atravessá-la. Assim, por exemplo, se T= 0,020, isso significa que para cada 1000 elétrons que colidem com a barreira, 20 elétrons (em média) a

atravessam e 980 são refletidos.

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$\psi ^{*}$

$|\psi _{I}(t)\rangle =e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi _{S}(t)\rangle$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

${\mathcal {L}}=\psi ^{*}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

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$T=e^{-2bL}$ , $b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}$

Por causa da forma exponencial da equação acima, o valor de T é muito sensível às três variáveis de que depende: a massa m da partícula, a largura L da barreira e a diferença de energia de Ub-E entre a energia máxima da barreira e a energia da partícula. Constatamos também pelas equações que T nunca pode ser zero.^[6]

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